Curvas e Superfícies

Curvas e superfícies são conceitos matemáticos muito usados em aplicações que lidam com manipulação da geometria

Curvas e superfícies desempenham um papel importante em diversas áreas, tanto na criação de objetos sintéticos quanto na visualização de fenômenos científicos. Na modelagem geométrica em computação gráfica, as curvas são a base, tanto da geração de formas simples como círculos e elipses, quanto na criação de projetos complexos como automóveis, navios ou aeronaves (onde são referidas como formas livres)

Representação das curvas

Conjunto de pontos: um conjunto de pontos formam uma curva. Tal representação não é adequada para curvas acentuadas, sendo necessário às vezes mais pontos para uma representação mais realística/ adequada.
Representação analítica: comparada ao conjunto de pontos é mais precisa, compacta, não requer área de armazenamento e facilita o cálculo de novos pontos (caso seja necessário para mudança de escala Ou representação).
Os pontos adicionais a serem incluídos são sempre exatos e não aproximações. Nessa forma de representação é mais simples calcular propriedades da curva como área, curvatura e outras do que na representação por pontos. Se forem conhecidos apenas os pontos da curva essas propriedades precisam ser calculadas com métodos numéricos. A representação analítica também apresenta mais simplicidade para ser redesenhada quando sujeita a transformações como mudança de escala, rotação, projeções dentre outras.
As formas analíticas ou por equações de representar curvas podem ser dividas em implícitas ou explícitas. formas não paramétricas de representar curvas: sem parâmetros e y é dado como função de x e vice-versa y=f(x) ou x=f(x). Ex: representação de um quarto de círculo que sai de 10: y=raiz(10^2-x^2) ou [[math]]
x =\sqrt(10^2-y^2)
[[/math]]
Seta:

(1)
\begin{equation} y=2x-1 \end{equation}

ou

(2)
\begin{align} x=\frac{1}{2}(y+1) \end{align}

(para 3D acrescentar z)
Polinômios são geralmente usados para representar curvas, pois são muito fáceis de combinar, derivar, integrar, ou avaliar seu valor em algum ponto.
Dessa forma não paramétrica obtém-se um valor de y para cada valor de x dado. Consequentemente, se a curva tem múltiplos valores, como um círculo, não pode ser representada explicitamente. Essa limitação não existe no caso de representações implícitas que são dadas por expressões na forma f(x,y) = 0.
A equação implícita de uma curva de segundo grau é

(3)
\begin{equation} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \end{equation}

Esa expressão representa a variedade de curvas planas denominadas seções cônicas, muito importantes na geometria euclidiana. Essas curvas, no total cinco, são chamadas seções cônicas porque são obtidas pelo corte de um cone por um plano, resultando em um círculo, uma elipse, uma parábola, uma hipérbole ou uma reta.
Cada um desses tipos surge dependendo da direção em que o plano está em relação ao cone.
A representação de uma curva 3D na forma implícita é descrita pela intersecção de duas superfícies da forma:

(4)
\begin{equation} { F_1(x,y,z)=0 F_2(x,y,z)=0 \end{equation}

que devem ser resolvidas simultaneamente para a determinação dos pontos da curva.
Esse processo é lento e, por isso, a forma implícita geralmente só é utilizada para a representação 2d. A grande vantagem da forma implícita é que com ela é muito fácil verificar se um dado ponto pertence ou não à curva, o que a faz útil para muitas aplicações de modelagem geométrica, onde precisa-se conhecer po tos interiores,exteriores e na fronteira do objeto.
Chama-se implícita a conversão de uma dada curva para essa forma. Por exemplo, a forma implícita da curva que descreve um círculo de raio r é

(5)
\begin{equation} x^2+y^2+r^2=0 \end{equation}

e da mesma reta anterior é

(6)
\begin{equation} 2x-y-1=0 \end{equation}

As formas explícitas e implícitas são dependentes do sistema de coordenadas cuja escolha afeta a facilidade de uso. Se os pontos de uma curva forem calculados a partir de incrementos uniformes em x ou y podem não ficar distribuídos uniformemente ao longo da curva. Isto afeta qual dada precisão da representação.
Na forma paramétrica usa-se de parâmetros (x,gama, etc) para definir as coordenadas dos pontos da curva. Por exemplo, a equação de um círculo de raio x=10 pode ser descrita como:
x=10 cos theta = FX(theta)
y= 10 sin theta = FX(theta)
E a equação da reta da seção anterior pode ser representada por
x=t+1=fx(t)
y=2t+1=fy(t)

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